《From Calculus to Cohomology: De Rham Cohomology and Characteristic Classes》（从微积分到上同调：德拉姆上同调和示性类）是一本由 Ib H. Madsen 和 Jørgen Tornehave 合著的数学教材。

这本书旨在提供一个关于微分形式的上同调（即德拉姆上同调，De Rham Cohomology）的自包含的论述，以及从曲率的角度来看待示性类（Characteristic Classes）的理论。

主要特点和内容：

• 无需先验知识： 它的一大特点是不需要读者事先了解代数拓扑学或上同调的概念，只需要标准微积分和线性代数的知识。
• 循序渐进：
  • 前半部分（前十章）主要研究欧几里得空间中开集的上同调、光滑流形及其上同调，并以流形上的积分作结。这部分内容通常涵盖代数拓扑学入门课程中的标准应用，例如布劳威尔不动点定理（Brouwer's fixed point theorem）和约旦-布劳威尔分离定理（Jordan–Brouwer separation theorem）。
  • 后半部分（后十一章）涉及更高级的上同调内容，包括莫尔斯理论（Morse theory）、向量场的指数（index of vector fields）、庞加莱对偶性（Poincaré duality）、向量丛（vector bundles）、联络与曲率（connections and curvature）、陈类（Chern classes）和欧拉类（Euler classes）、汤姆同构（Thom isomorphism），以及广义高斯-博内定理（Gauss-Bonnet theorem）。
• 用途：
  • 它可以作为代数拓扑学的入门课程。
  • 它也为读者理解规范场论（gauge theory）和四维几何学中的现代发展提供了必要的背景知识。