计算机代数系统 MAXIMA

计算机代数系统 (CAS) 已经成为应用数学不可缺少的工具，常见的计算机代数系统有 MAXIMA, Mathematica, Maple, MuPAD, Reduce, AXIOM, Derive 等。

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MAXIMA 可以在 http://sourceforge.net/projects/maxima 免费下载。如果不是从源码安装，你需要下载一个 maxima 和一个 maxima-exec 包。推荐用 maxima-exec_gcl-*，因为用这个你不需要再安装 LISP 解释器了。

MAXIMA 的历史

MAXIMA 是由 DOE-MACSYMA 演变而来的。MACSYMA 是 MIT 在 60年代末创造的一种 CAS。它是用 LISP 实现的。MACSYMA 早期的赞助包括 ARPA, DOE, ... 它运行于一台 ARPAnet 早期的PDP-10主机上。一直以来 MACSYMA 都是世界上最大的 LISP 程序，用于公式推导和符号计算。

但是由于 MIT 1982年的时候决定把MACSYMA变成一个关闭源码的商业程序，帮助销售 LISP 机器。所以产生了很多 MACSYMA 的分支，比如 VAXIMA, MAXIMA, ... 商业利益的诱惑使得 MIT 从 Berkeley 收回了 50 份正在使用的 MACSYMA 系统，引起很多人不满，使人想起了当年 AT&T 在 UNIX 身上的作法。同时也直接导致了 Richard Stallman 从 MIT 辞职，创立自由软件基金会(FSF)和GNU项目，这样才会有我们今天使用的 GNU/Linux.

商业的 MACSYMA 是由 Symbolics Inc 销售的，后来是 Macsyma Inc，但是 Macsyma Inc 在 1999 年突然不明原因的解体了，程序员各奔东西，众多的用户失去了支持。

现在的MAXIMA 是 MACSYMA 的一个 GPL 的衍生版本，它是自由软件。它就是 MACSYMA 未来的希望。虽然以前有 REDUCE, CAMAL, Mathlab-68, PM, ... 但是 MACSYMA 在Mathematica 和 Maple 出现以前显然是没有对手的。但是现在似乎Mathematica 和 Maple 已经挤垮了 MACSYMA。不过各有各的好处，你继续看下去就知道 MAXIMA 哪些地方比 Mathematica 和 Maple 好。

由于 MAXIMA 就是 MACSYMA 的一个版本。下文中我们的 "MAXIMA" 和 "MACSYMA" 两个单词可以互换。

MAXIMA 简介

MAXIMA 是完全可以跟 Mathematica 和 Maple 比美的 CAS。实际上 Mathematica 和 Maple 的很多优点都是从 MACSYMA 身上学来的。

严密的逻辑
Maple 和 Mathematica 经常做错的东西，MACSYMA 经常会给你一个合理的答复。当然它也会做错。小心！计算机代数系统给出的答案都有可能是错误的，不能完全依赖它们。
你可以试试积分： integrate(x^i,x) 和 Integrate 1/sqrt(2-2*cos(x)) from x=-pi/2 to pi/2。 Mathematica 4.1 会立即给你一个不完全正确甚至错误的答案。
在这种情况下，MAXIMA 的表现要聪明的多，因为它毕竟有几十年的经验。MAXIMA 缺省是一个非常严密的系统，如果你要积分:
```
integrate(x^i,x);
```
MAXIMA 会问你：
```
Is  i + 1  zero or nonzero?
```
这是因为现在我们不知道 i 是否等于 -1。如果 i=-1, 那么这个积分应该等于 LOG(x)，其中 LOG 是 MAXIMA 的自然对数符号。如果 i 不等于 -1，那么积分应该等于
```
                                     i + 1
                                    x
                                    ------
                                    i + 1
```
这样每次都要问你有时很麻烦，你也可以告诉它，没有特殊指明的情况下，假设积分里的符号都是正数：
```
ASSUME_POS: True;
```
它以后遇到 integrate(x^i,x); 就会直接给你
```
                                     i + 1
                                    x
                                    ------
                                    i + 1
```
而不会再问你问题了。

方便的推理

不仅严密，而且 MAXIMA 有比 Mathematica 和 Maple 方便的推理系统。你跟 MAXIMA 就像在对话：

看看这个例子：如果A>=B, B>=C, C>=A, 那么 A=C 吗？

(C1) ASSUME(A>=B, B>=C); 

(D1)                           [A >= B, B >= C]
(C2) ASSUME(C>=A);

(D2)                               [C >= A]
(C3) IS(EQUAL(A,B));

(D3)                                 TRUE

另一个例子: 如果 x>y, 那么x^2 >y^2 吗？

(C4) ASSUME(x>y);

(D4)                                [x > y]
(C5) IS(x^2>=y^2);

MACSYMA was unable to evaluate the predicate:
 2     2
x  >= y
 -- an error.  Quitting.  To debug this try DEBUGMODE(TRUE);)

MAXIMA 不能回答你，因为 x,y 的符号未知。现在你告诉它 x 和 y 都是正数：

(C6) assume(x>0, y>0);

(D6)                            [x > 0, y > 0]
(C7) is(x^2>y^2);

(D7)                                 TRUE

这下它告诉你答案了。

它可以根据一些事实来化简式子。我们有这样一个复杂的式子：

(C11) EXP:-K^2*L^2*M^2*N^2-K^2*L^2*N^2+K^2*M^2*N^2+K^2*N^2
                     2  2  2  2    2  2  2    2  2  2    2  2
(D11)             - K  L  M  N  + K  M  N  - K  L  N  + K  N

我们还有两个简单的事实：

(C12) EQ1:L^2+K^2 = 1
                                   2    2
(D12)                             L  + K  = 1
(C13) EQ2:N^2-M^2 = 1
                                   2    2
(D13)                             N  - M  = 1

让它根据这两个事实化简第一个式子：

(C14) SCSIMP(EXP,EQ1,EQ2)

得到一个很简单的答案：

                                      4  4
(D14)                                K  N

抽象代数
在你还没有函数的定义时，你就可以声明这个函数的一些性质。这样你可以在很多时候大大简化结果。比如，你可以声明一个函数是奇函数：
```
(C1) DECLARE(F,ODDFUN);

(D1)                                 DONE
(C2) F(-A); 
(D2)                                -F(A)
```
F(-A) 以后简化时就可以被当成 -F(A)。你再声明 F(X) 是 OUTATIVE:
```
(C5) DECLARE(F,OUTATIVE);

(D5)                                 DONE
(C6) F(3*A);

(D6)                                3 F(A)
```
这样，F(3a) 可以被当成 3F(a)。综合以上两个事实，我们可以得到：
```
(C7)  F(-A)+F(2*A)-F(A);

(D7)                                   0
```
如果你告诉 MAXIMA，n 是一个整数，那么它就知道 sin(n pi) = 0.
```
(C1) declare(n,integer);
(D1) 			    DONE
(C2) sin(n*%pi);
(D2) 			     0
```
你甚至可以定义自己的操作符，它可以有中缀，前缀，后缀，nary等各种方式，可以有任意的优先级，可以设定它是左结合还是右结合。比如我们来定义一个NARY操作 "&"，它的优先级是180（缺省），它是右结合的。
```
(C6) NARY("&");

(D6)                                  "&"
(C7) declare("&",RASSOCIATIVE);

(D7)                                 DONE
(C8) x&y&a&b;

(D8)                          x & (y & (a & b))
```
超强的扩展能力
另外，MAXIMA 是可以用自己的语言或者 LISP 进行扩展的。比如你可以用 recur 包来推导递推关系：
```
(C8) load(recur);

(D8)          /usr/share/maxima/5.9.0rc3/share/algebra/recur.mac
```
现在我们来解一个“快速排序”的时间复杂度分析里出现的简单的递推关系：
```
T(0)=0
T(N)=2*T(N-1)+1
```
这样输入到 MAXIMA:
```
(C14) CHAR(T(N+1)-2*T(N),1,T,N,1,[T(0)=0]);

                                         N
(D14)                            T(N) = 2  - 1
```
这个 recur 实际上只是一个200多行的小程序，就可以帮你处理线性递推关系，生成函数……
MAXIMA 有函数式的程序语言，它比通常的过程式语言要强大的多。你甚至可以接触到它底层的 LISP。Mathematica 的语法就是跟 MACSYMA 学来的。
MAXIMA 完全是用 LISP 语言写的，所以它继承了 LISP 语言天生的特征。它分为上下两层，上面一层叫做 MAXIMA level，下面一层叫做 LISP level。上下两层是相通的，如果你懂得 LISP，你可以随时按 Ctrl-C 进入到 LISP 的环境，定义一个函数，然后退回到 MAXIMA 层调用那个函数。当然在 LISP level 还有很多工作可以做。你也可以在 MAXIMA level 定义了函数，然后在 LISP level 进行调用。
资料

MAXIMA 跟商业的 MACSYMA 的功能基本相同。如果你有商业的 MACSYMA 那就可以用它的手册。如果你没有，就只好看 MAXIMA 自带的 manual 了。那个 manual 不容易看懂。这里有一个 MAXIMA book，是从MAXIMA的 cvs 下过来的 TeX 文件生成的。可以作为参考。
点击这里下载 MAXIMA book。
更多的 MAXIMA 资料可以点击我的 MAXIMA WiKi 页。
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